重视数学思想方法,深化数学教材改革——高中

  重视数学思想方法□□□,深化数学教材改革——高中数学试验教口材与普通教材在数学思想方法处理方面比较初探的论文

  摘要:数学思想方法是数学的灵魂和精髓□□☆□☆,如何口在中学数学教材中体现数学思想方法☆□□☆,不失时机的向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题☆□□□。本文着重探讨高中数学内容中所蕴含的数学思想方法□□☆,并对实验教材与普通教材在数口学思想方法处理方面进行比较□□☆。通过比较我口们口看到☆□□□☆,《中学数学实验教材》中更突出了数学思想和数学方口法☆☆□,体现了知识教学和能力培养的统口一☆□☆。并且我们必须重视数学思想方法□□☆,深化数口学教材口改革□☆□,让学生学会用数学思想方法分析问题□□☆、解决问题□☆□□☆,切实实现素质教育的要求☆□☆。

  关键词:数学思想方口法☆☆☆□□,数学教材

  一□□☆☆、问题提出

  数学思想方法是以具体数学内容为载体☆☆☆□□,又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用口的方法☆□□。它能使人领悟到数学的真谛□□□□☆,学会口数口学的思考和口解决问题□☆□,并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用☆☆□。日本数学教育家米山国藏认为□☆□□☆,学生在进入社会以后☆□☆,如果没有什么机会应用数学□☆☆,那么作为知识的数学☆□☆□□,通常在出校门后不到一口两年就会忘掉☆☆□□,然而不管他们从事什么业务工作□☆□☆,那种口铭口刻在人脑中的数学精神和口数学思想方法☆☆□☆,会长期地口在他们的生活和工作中发挥重要作用□☆☆☆☆。所以突口出数学思想方法教学□□☆☆□,是当代数学教育的必然要求□☆☆□□,也是数学素质教育的重要体现□□□□,如何在中口学数学教材中体现数学思想方法也是一个十分重要的问题.2001年我国新一轮基础教育课程改革已正式启动,此次基础教育数口学课程改革的特点之一就是把口数学思想方法作为课程体系的一条主线□☆□☆□。已经有不少文章探讨口初中数学教材中的数学思想方法☆☆☆,但对高中数学教材中蕴含的数学思想方法探讨较少☆☆☆□□。wWW.11665.CO口M口事实上☆☆□☆,高中数口学教材的改革也已经开始酝酿□☆☆,目前高中口普遍口使用的数学教材是人教社2000年版的《全日制普通高级中学教科书(试验修定本)•数学》(下称普通教材)☆□☆☆□,也有部分高中根据学生的情况选用了原国家教委的《中学数学实验教材(试验本•必修口•数学)》(下称实验教材)☆☆□☆☆。可以说在素质教育推动下☆□□☆☆,与旧数学教材相比这两套新教材在内容□□☆□□、结构编排上都有了很大变化□☆☆□,都体现了新的数学教育观念□☆□☆□,而在原国家教委的《中学数学实验教材口》中尤其突出了数学思想和数学方法□☆□☆☆,体现了知识教学和能力培养的统一☆□□☆。本文就着重探讨高中数学内容中所蕴含的数学思想方法☆☆☆,并对实验教材与普通教材在数学思口想方法处理方面口进行比较□□☆。口☆口口口☆口

  二☆□☆☆☆、高中数学应该渗透的主要数学思口想方法

  1□□☆、数学思想与数学方法数学思想与数学方法目前尚没有确切的定义☆☆□,我们通常认为☆□□□,数学思想口就是“人对数学知识的本口质认识□□☆☆☆,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点☆□☆,它在口认识活动中被反复口运用☆☆☆☆□,带有普遍的指导意义□☆□□☆,是建立数学和用数学解决问题口的指导思想”☆□□☆。就中学数学口知识体系而言□☆□□,中学数学思想往往是数学思想中最常见□☆☆□☆、最基本☆□□☆☆、比较浅显的口内口口容☆☆□□☆,例如:模型思想□☆☆、极限思想☆□□□、统计思想☆□□、化归思想☆□□☆、分类思口想等☆□□☆。数学思想的高口层次的理解□☆□,还应包括关于数学概念☆☆□☆□、理论□☆☆☆、方法以及形态的产生与口发展规律的认识□☆□□☆,任何一个数学分口支理口论的建立□☆☆☆,都是数口学思想的应用与体现□□□。所谓数学口方法□□☆,是指人们从事数学口活动的程序□☆☆、途径☆□☆☆☆,是实口施口数学口思想的技术手段□☆□☆,也是数学思想的具体化反映□☆□□。所以说□☆☆☆,数学思想是内隐的□□□□,而数学方法是外显的☆□☆□,数学口思想比数学方法更深刻☆□☆□,更抽象地反映了数学对象间口的内在联系□□□□。由于数学是逐层抽象的□☆□□,数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性特点☆□☆□□,层次越低口操作性越强☆□☆□☆。如变换方法包括恒等变换☆☆□□☆,恒等变换中又分换元法□☆☆、配方法□☆☆□、待定系数法等等☆□□☆。总之☆□□☆☆,数学思口想和口数学方法有区别也有联系□☆☆□□,在解决数学问题时☆☆□,总的指导思想是把问题化归为能解决的问题☆□□☆□,而为实现化口归□☆☆☆,常用如一般化☆□□□、特殊化☆☆☆、类比☆□☆□□、归纳□☆☆☆☆、恒等变形口口口等方法□☆☆□,这时又常称用化归方法☆☆☆☆□。一般来说☆□☆,强调指导思想时称数口口学思想☆□☆□,强调操作过程时称数学方法☆□□。2□□☆☆□、高中数学应该渗透的主要数学思想方法中学数学教育大纲中明确指出口数学基础知识是指:数学中的的口概念☆□☆□、性质☆□□☆、法则□☆☆、公式□□☆□、公理☆□☆、定理及由数口口学基础内容反映出口来的口口数口学思想方法□☆□☆☆。可见数学思想方法是数学基础知识的内容☆☆☆,而这些数学思口想方法是融合在数学概念□□☆☆、定理□☆☆☆、公式□□□☆、法则□□□□☆、定义之口口口中的□□□☆。在初中数学中□☆□□☆,主要数学口思想有分类思想☆□☆□□、集合对应思想☆☆☆、等量思想□☆☆□、函数思想☆☆□□☆、数形结口口合口思口口想□□□□、统计思口口想和转化思想☆□☆。与之对应的数学方法有理论形成的方法□□□□☆,如观察□□☆☆☆、类比☆□☆☆、实验☆□□、归纳□☆☆□、一般化☆☆□☆、抽象化等方法☆☆☆□,还有解决问题的具体方法□☆☆,如代入□☆□☆□、消元☆□□、换元☆☆☆□、降次□☆☆、配方☆□□☆□、待定系数☆□☆□、分析☆☆□□、综合口等口口方口法□□□☆。这些数学思想与方法☆☆□☆,在义务教材的编写中被突出的显口现出口来□☆☆□☆。在高中数学教材中□□□□☆,一方面以抽象性更强的高中数学知识为载体□☆☆☆□,从更高层次延续初中涉及的那些数学思想方法的学习应用□□□☆□,如函数与映射思想□☆□□、分类思想☆☆□、集合对口应思口想☆□□☆、数形结合思想☆☆□、统计思想和化归思想等☆□☆☆。另一方面☆☆□□,结合高中数口学知识□☆□,介绍了口一些新的数学思想方法□□□☆☆,如向量口思想☆☆☆□、极限思想☆☆☆,微积分方口法等☆☆□☆□。因为其中一些数学思想方法都介绍很多了□☆☆□,这里只谈一下初等微积分的基本思想方法☆□☆☆。无穷的方法□☆☆,即极限思想方法是初等微积分的基本思想方法☆☆☆,所谓极限思想(方法)是用联系变动的观点□□☆,把考察口的对象(例如口圆面积□□□、变速运口动物体的瞬时速度☆□☆□□、曲边梯形面积等)看作是某对象(内接正n边形的面积☆□□□☆、匀速运动口的物体的速度□☆☆□☆,小矩形面积之和)在无限口变化过程中变化结果的思想(方法)□□☆□□,它出发于对过程无限变化的考察☆☆□☆☆,而这种考察总是口与过程的某一特口定的☆☆□□□、有限的□☆☆、暂时的结果有关□☆□☆,因此口它体现了“从在口限中找到无限☆□☆☆,从暂时中找到口永久☆□☆,并且使之确定起来”(恩格斯语)的口一种运动辨证思想☆□☆,它不仅包括极限过程☆□☆□□,而且又完成了极限过程□□☆。纵观微积分的全部内容☆□☆□☆,极限思想方法及其口理论贯穿始终□□□☆□,是微积口分口口的基础☆□□□□。

  三□□☆、普通教材与实验教材在数学思想方法处理方面的比较

  普通高中教育是与口九年义务教育相衔接的高一层次基础教育□□☆□□,在数学教材的编写口上☆☆☆,必须要注意培口养学生的创新精神☆□☆□□、实践能力和终身学习的能力□☆☆。与旧教材相比☆☆□☆□,新的数学教口材开始重视渗口透数学思想方法☆☆☆,那么高中现行使用的普通教材与实验教材在数学思想方法处理方面有口何异同呢☆☆☆?因为内容太多☆□□☆,下面只能粗略的作一比较☆☆☆☆□。1☆☆□□□、相同之处在于普通教材与实验教材都多将数学思想方法的展口示□☆☆□,融合在数学的定义☆☆☆☆、定理□□☆□、例题中□☆□☆。例如集口合的思口想□□☆,就是通过集合的定义“把某些指定的对象集在一起就成为一个集合”☆□□☆,及通过用集合语言来表口述问题☆☆☆□☆,体现了集合思想方法来处理数学问题的直观性☆☆□□,深刻性☆☆☆□□,简洁性☆☆□□。对非常口重要的数学口口思想方法也口采用单独介绍的方式☆□□,如普通教材与实验教口材都将归纳法列为一节☆☆□□☆,详细学习☆□☆。2□☆□☆□、不同之处在于(1)有口些在口普通口教材口中隐含方式出现的数学思想方法☆□☆,在实验教材中被明确的指出来□☆□,并用以指导相关数学知识的展开□☆☆□。关于数学方法我们举不等式证明方法的例子☆☆☆☆。实验教材在不等式一章第三节“证明不口等式”中详细讲述了不等式口证明的方法□□☆☆□,比较法☆☆□□□、综合法☆☆□□□、分析法□☆☆□☆、反证法☆□□☆。普通口教材中虽然也在不等口式一口章□☆☆□□,列出第口口三节“不等式口的证口明”介绍比较法☆☆☆□、综合法☆☆□、分析法□□☆□□,但对方法口的分析不够透彻☆□□□,更象是为了解释例题☆□☆。比如在综合法的介绍中☆□☆□□,普通教材只讲:“有时我们可以用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数口与几何平均数口的定理)和不等式的性质推导出所要口证明的不等式成立☆□☆□,这种证明方法通常叫做综合法□□☆☆□。”而在口实验教材更准确更详细口的介绍:“依据不等口式的基口本性质和已知的不等式☆□☆☆□,正确运用逻辑推理规律☆□□□,逐步推导出所要证明的不等式的方法☆☆☆□☆,称为综合法☆☆□☆□。综合法实质上是“由因导果”的直接论证☆□☆□,其要点是:四已口知性质□□☆□☆、定理□☆□□☆、出发□□□□□,逐步导出其“必要条件”□□□☆,直到口口最后的“必要条件”是所证口的不口等式口为止”☆☆☆☆。分析法的介绍也是这样☆□□,在实验教材中给出了分析法实质是“执果索因”的说明□☆☆□☆,这样学生能清楚口的领会综合法☆□□☆□、分析法的要口义☆□☆,会证不等式的同时学会了综合法和分析法□☆☆☆,而不仅是能证明几个不等式☆□□☆。关于数学思想在实验教材第一册(下)研究性课题“函数学思想及其应用”中☆□□,明确提出“把一个看上去不是明显的函数问题☆□☆□,通过☆☆□☆□、或者构造一口个新函数☆☆□□,利用研究函数的性质和图象☆☆☆,解决给出的问口题□□□□☆,就是函口数思想”☆□□□,并举例用函口数思口想解决最值问题☆□□□、方程□□☆、不等式问题☆□☆☆,及一些实际应用的问题□□☆☆□。其实普通教材在讲函数时也在用运动□☆□□、变化的观点☆☆☆□☆,分析研究具体问题中的数量关系□□□☆,口☆口口☆口口通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究□☆□□□,但从未提函数思想方法☆□☆□。虽然实验教材中只是以研究性课题的形式□□□☆,对函数思想作以介绍和应用探讨□□□,可这已经是一种重视数学思想方法的信号□☆□□,随着今后素口质教口育的推进□☆☆□☆,和实践经验的口积累□☆□☆,我想数学思想方法在数学教材中会有更明确的介绍☆☆□。我们举向量的例子☆☆□□☆。(2)实验教材中还增加了一些数学思想方法的介绍□☆☆。关于数学方法普通教材在第一册第三章“数列”中只介绍了数列口口的概念□□☆☆☆、等差等比数列及其求和□□□☆,而在口实验口教材第二册(下)的第十章“数列”中增加口了第四节“数列应用举例”介绍了作差☆□□,将某些复杂数列口转化为等差等比数列的方法☆☆☆。这在潜口移默化口中也渗透了转化的思想☆☆□☆□。又如在第一册(上)中□☆☆□,增加了口研究性课题“待定系数法的原理☆☆□☆、方法及初步应用”□□☆☆,阅读材料“插值公式口与实口验公口式”□□☆□,虽然不是作为正式口章节☆☆□,但也体现了对数学思想方法的重视□☆☆。再如数学归纳法普通教材介绍的相当简略□☆□,而实验教材详细介绍了什么是归纳法☆☆□☆,归纳法的结论是否一口定正口确□☆□,什么是数学归纳法归纳起始命题等问题□□☆,还举了大量例子□□☆,切实注重让学生真正理解方口法☆☆☆☆。关于数学思想口实验教材中对向量□☆□☆,解析几何的处理体现了将向量思想□☆□□□,几何代数化思想的引入□☆□□,并用这些数学思想方法来统领相关数学知识口的介绍□☆☆□☆。实验教材在第六口章“平面向量”开首就讲:“代数学的口口基本思想方法是运用运算律去系统地解答各种类型的代数问口题;几何学研究探索的内容是空间图形的性质□□□☆☆。……在这一章中□☆□☆,我们首口先要把表达“一点相对另一点的位置 ”的量定义为一种新型的基本几何量…口…我们称之为向量☆☆□,……这样☆□□☆,我们就可以口用代数的方口法研究平面图形性质☆☆☆,把各种各样的几何问题用向量运算的方法来解答☆□☆。再看普通教材第五章“平面向量”的前提介绍:“……□□☆☆,位移是一个既有大小又口有方向的量□☆□□☆,这种量就是我们本章报要研究的向量☆□☆□。向量是数学口中口的重要概念之一☆□□☆□。向量和数口一样也能进行运算□□☆☆☆,而且用向量的有关知识更新还能有效地解决数学☆☆□、物理☆☆□□、等学科口中的很口多问题☆□☆□。这一章里☆☆□☆,我们将学口习向量的概念☆□□☆、运算及其简单的应用□□☆☆。”显然实验教材是从数学思想方法的高度来引入向量☆□☆☆,这也使后面内容的学习可以以此为口线索□☆☆□□,体现了知识的内在统一☆□☆□□。实验教材在第口六章“平面向量”之后☆□□,紧接着口设置了第口七章“直线和圆”□□☆☆,从第七章的内容提要中我们看出这样设计是有良苦用心的☆□☆☆☆。内容提要如下:“人们对于事物口的认识和理解☆□□□☆,总是要经过逐步深化的过程和不断推进的阶口段□□☆□☆。对于空间的认识和口理解☆☆□,就是先有实验几何□☆☆☆,然后推进到口推理几何□☆□☆☆,理推进到解析几何□□☆☆。在第六章□□☆☆□,我们口口引进了平面向量☆□☆,并且建立了向量的基本运算口结构☆☆□□,把平面图形的基本性质转化为得量的运算和运算律□☆☆□,从而奠定了空间结构代数化的基础;再通过向量及其运算的坐标表口示☆☆□,实现了从推理几何到解析几口何的转折☆□☆□☆。解析几何是用坐标方法研究图形□☆☆□,基本思想是通过坐标系□□☆☆,把点与坐标☆□☆☆□、曲线与方程等联系起来☆□□☆☆,从而达到形与数的结合☆□□☆,把几何问题转化为代数问题口口进行研究口和解决□□☆□☆。”并且口在后面直线的方程☆□□□、直线的位置关系点到直线的距离几节中都自然而然的延续了向量的思想和方法☆□☆,使直线的学习连惯□☆□□☆、完整□☆□、深刻□□☆□。而普通口教口材将第一册(口下)的第五章设为“平面向量”□□□☆,在第二册(上)的第七口章才设置“直线和圆的方程”☆☆☆☆,中间隔了不等式一章☆☆□□,并且在内容上□☆□☆□,也没有将向量与直线方程联系起来☆☆☆□,关于法口向量☆□□☆☆、点直线点法式方程都没有讲□□□☆,只是随后设置了“向量与直口线”的阅读材料简单介绍法向量☆☆☆、直线间的位置关系☆□□☆☆。

  四☆☆□□□、重视数口学口口思想方法☆□□☆□,深化数学教材改革

  1□□☆、在知识发生过程中渗透数口学思想方法这主要是指定义□☆□☆□、定理公式的口教学☆☆☆。一是不简单口下定义☆☆□□。数学的概念既是数学思维基础☆□□,又是数学思维的结果☆□□☆☆。概念教学不应简单地给出口定义☆☆☆□☆,口☆口口☆口而是口应引导学生感受或领悟隐含于概念形成之中的数口学思想方法□□☆。二是定理公式介绍中不过早下结论□□☆□□,可能的话展示定理口公式的形成过程□☆□☆☆,给教师☆□☆、学生留有参与结口口论的探索☆☆☆□□、发现口和推导过程的机会☆☆□。2☆☆□、在解决问题方法的探索中激活数学思想方法①注重解题思路的数学思想方法分析☆☆□□□。在例题☆□□、定理证明口活动口中☆☆☆,揭示其中隐含的数学思维过程□☆□,才能有效地培养和发展学生的数学思想方法☆□□□。如运口用类比☆☆□、归纳☆□□□、猜想等思想☆☆□☆,发现定理的结论☆☆□,学会用化归思想指导探口索论证途径等□☆□☆。②增强解题的数学思想方法指导☆□☆。解题的思维过程都离不开数学思想的指导□☆☆□□,可以说☆□☆□□,数学思想指导是开通解题途径的金钥匙□☆□☆☆。将解题过程从数学思想高度进行提炼和反思□☆□,并从理论高度叙述数学思想方法☆□☆□☆,对学生真正理解掌握数学思想方法□□☆□☆,产生广泛迁移有重要意义□☆☆□。 3☆□□、在知识的总结归纳过程中口概括数学思想方法☆□☆□,以数学思口想方法为主线贯穿相关知识 概括数学口思想方法可以从某个概念☆□☆□、定理☆☆□、公式和问题教学口中纵横归纳☆☆☆,反过来也可以以数学思想方法统领相关知识☆☆☆□□, 总之□□☆☆,数学思想方法是数学的灵魂和精髓□□□,我们在中学数学教材中☆□☆□,应努力体现数学思想方法☆□☆,不失时机的向学生渗透数学思想方法☆☆☆□☆,学生方能在运用数学解决问题自口觉运用数学思想方法分析问题□☆☆☆□、解决问题☆☆☆□□,这也是素质教育的要口求□□☆☆。

  参口考文献:王传增 初中数学教学中的数学思想方法教 教学与管理 2001年4月李艳秋 发挥义务教材特点☆□□,培养学生数学素 教育实践口与研究 2002年8月曹才翰 章建跃 数学教育心理学 北京师范大学出版社 2001章建跃 朱文方 中学数学教学心理学 北京教育出版社 2001年7月钱佩玲 邵光华 数学思想方法与中学数学 北京师范大学出版社 2001年5月数学思想方法 解恩泽☆□☆□□、徐本顺 主编 山东教育出口口版社 1995年4月

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